bangla pdf booksMathmatics Bangla books

নিমিখ পানে ২ pdf download Comok Hasan

নাম:- নিমিখ পানে ২ pdf download. 

লেখক:- চমক হাসান। 

নিমিখ পানে ২ pdf download প্রকাশনী:- আদর্শ। 

বইয়ের প্রথম অংশ :-  

নিমিখ পানে ২ pdf download বইয়ের অধ্যায় ১:- 

যােগজীকরণক্ষেত্রফল থেকে যার শুরু ১.১ প্রাচীনকালের যােগজীকরণ ইতিহাস মানেনি পাঠ্যবইয়ের ক্রম। তােমরা অনেকেই বােধ হয় এটা জানাে যে ক্যালকুলাস বা কলনবিদ্যার এটাজাত প্রধান ভাগ দুটো–ডিফারেন্সিয়েশন (Differentiation), যাকে বাংলায় বলে অন্তরীকরণ, অন্তরকলন বা ব্যবকলন; আর হলাে ইন্টিগ্রেশন (Integration), যাকে বাংলায় আমরা বলি যােগজীকরণ বা সমাকলন।

নিমিখ পানে এর  প্রথম খণ্ডে আমরা বলেছি অন্তরীকরণের গল্প। জেনেছি কী করে এর যাত্রা শুরু হলাে, দেখেছি কী করে আমরা পেয়েছিলাম ফাংশনকে অন্তরীকরণ করার ধারণা—স্পর্শকের ঢাল বের করার উপায় খুঁজতে গিয়ে।নিমিখ পানে ২ pdf download !! 

অন্তরীকরণ সম্পর্কে ধারণা তৈরি হওয়ার পর এবার জানব যােগজীকরণের কথা। আগে অন্তরীকরণ, তারপর যােগজীকরণ—এই ক্রমটাই সাধারণত অনুসরণ করা হয় ক্যালকুলাসের সব বইয়ে।

কিন্তু মজার ব্যাপার কী জানাে, ইতিহাস আমাদের পাঠ্যবইয়ের ক্রম মেনে চলেনি! বাস্তবে যােগজীকরণের ধারণা তৈরি হয়েছে অন্তরীকরণের বহু বছর আগে। নিউটন-লিবনিজের হাত ধরে প্রাতিষ্ঠানিক ক্যালকুলাসের জন্ম হয় এখন থেকে তিন শ বছর আগে, কিন্তু তারও প্রায় দুই হাজার বছর আগে ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাসের কাছাকাছি ধারণা নিয়ে ভেবেছেন চিন্তাশীল মানুষেরা!নিমিখ পানে ২ pdf download link! 

প্রথম যিনি এমন ধারণা নিয়ে কাজ করেছিলেন বলে নিশ্চিত হওয়া যায়, তার নাম ইউডােক্সাস (Eudoxus)। তিনি ছিলেন বহু প্রাচীন একজন গ্রিক গণিতবিদ, খ্রিষ্টপূর্ব ৩৯০ অব্দে যার জন্ম। সে সময়ের অন্য অনেক গণিতবিদের মতাে তিনিও ভাবতেন একটা পুরােনাে সমস্যা নিয়ে, যেটা এর পরের দেড় হাজার বছরেও মানুষ সমাধান করতে পারেনি।

সমস্যাটা শুনতে খুব সহজ। একটা বৃত্ত দেওয়া আছে; এবার একটা পেনসিল, কম্পাস আর রুলার দিয়ে তার সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটা বর্গ অাঁকতে হবে। শুনতে সহজ হলেও এটা এখন প্রমাণিত যে, এমন বৰ্গ আঁকা কোনাে দিনও সম্ভব নয় এবং সেই প্রমাণটাও খুব সহজ নয়! 

নিমিখ পানে ২ pdf download নিঃশেষ পদ্ধতি :

বৃত্তকে বর্গ করার সমস্যাটা সমাধান করতে পারেননি ইউডক্সাস, তবে তিনি পথ দেখিয়েছেন ক্ষেত্রফল বের করার নতুন এক উপায়ের যাকে বলা হয় “Method of Exhaustion’ (নিঃশেষ পদ্ধতি)।

ধারণাটা হলাে এমন- যদি কোনাে আবদ্ধ জায়গার ক্ষেত্রফল বের করতে চাও, এটাকে কোনাে একটা বহুভুজ দিয়ে ভরাট করাে যার ক্ষেত্রফল জানা। এবার বহুভুজটাকে বড় করাে কিংবা এর বাহুর সংখ্যা বাড়াও, আর নাহলে আরও ছােট ছােট বহুভুজ যােগ করাে, যেন মূল আবদ্ধ ক্ষেত্রটা ভরাট হয়ে যেতে থাকে।

এভাবে জানা ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট বহুভুজ দিয়ে ভরাট করতে করতে একসময় পুরাে জায়গাটাই প্রায় ভরে যাবে। মূল ক্ষেত্রের সাথে জানা ক্ষেত্রগুলাের পার্থক্য কমতে কমতে ‘নিঃশেষ হয়ে যাবে। তখন আমরা জেনে যাব মূল আবদ্ধ ক্ষেত্রটার ক্ষেত্রফল। একটু পর তােমাকে যখন আমি যােগজীকরণের ধারণাটা বলব, তুমি দেখবে সেই ধারণাটার সাথে প্রাচীন এই “নিঃশেষ’-এর নিয়মের বেশ মিল আছে।

আর্কিমিডিস- জন্ম প্রাচীন, মস্তিষ্ক আধুনিক Eudoxus যদিও ‘নিঃশেষ’ ধারণাটা শুরু করেন, তিনি খুব বেশি প্রয়ােগ করেননি এটার। এরপর মহান গ্রিক গণিতবিদ ইউক্লিড তার Elements বইয়ে কিছু প্রমাণে ব্যবহার করেছেন এই ধারণা। তবে এই ধারণা নিয়ে সবচেয়ে অসাধারণ কাজ যিনি করেছেন, তাঁকে একবাক্যে মেনে নেওয়া যায় প্রাচীন যুগের শ্রেষ্ঠ গণিতবিদ হিসেবে তিনি হলেন আর্কিমিডিস অব সিরাকিউস। তার জন্ম প্রাচীন আমলে, তবে চিন্তাভাবনায়, মেধায়-মননে তিনি ছিলেন অসম্ভব-রকম আধুনিক।

পরাবৃত্তের মাঝে আবদ্ধ ক্ষেত্রফল, বৃত্তের ক্ষেত্রফল, গােলকের আয়তনএমন বহু বহু বিষয় তিনি দারুণ নিখুঁতভাবে বের করেছেন। আর সেসব প্রমাণে প্রায়ই ব্যবহার করেছেন Method of Exhaustion।

নিমিখ পানে ২ pdf download যান্ত্রিক পদ্ধতির গণিত:– 

আর্কিমিডিস Exhaustion ছাড়াও আরেকটা পদ্ধতি প্রয়ােগ করেছিলেন, যাকে এখন বলে ‘mechanical method’। এটা আমরা জেনেছি মাত্র কয়েক বছর আগে তার একটা হারিয়ে যাওয়া পাণ্ডুলিপি আবিষ্কারের পর (আগ্রহীরা পড়তে পারাে Archimedes’s Palimpsest কী যে প্রমাণ করলাম! আমি অে বুঝছি, বাকিয়া কেউ কি বুঝায়?

আর্কিমিডিসের খুব প্রিয় ব্যাপার ছিল ভারসাম্য, লিভারের সূত্রটা তারই দেয়া। তিনি ভাবতেন লিভারের দুই পাশ (যেমন ধরাে- দাঁড়িপাল্লার দুই পাল্লায়) কত বিচিত্র উপায়ে ভারসাম্য রাখা যায়! তিনি দেখালেন দাঁড়িপাল্লার একপাশে যদি একটা গােলক আর একটা কোণক থাকে যাদের ব্যাস আর উচ্চতা পরস্পর সমান, আর অন্য পাশে যদি একই ব্যাস আর উচ্চতার একটা সিলিন্ডার থাকে, তাহলে দুই পাশে ভারসাম্য হয়।

কী অদ্ভুত! এবং এটা প্রমাণ করতে গিয়ে তিনি গােলকের আয়তন বের করেছেন ফালি ফালি পাতলা চাকতি একটার ওপর একটা বসিয়ে। অবাক ব্যাপার হলাে, ঠিক এ কাজটাই আমরা এখন করি ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাসে! অবশ্য আর্কিমিডিস একটা ঝামেলায় পড়েছিলেন। একটা মজার ব্যাপার হয়েছিল। 

তিনি বুঝতে পারছেন এটা ঠিক আছে, কিন্তু নিজের পদ্ধতির ওপর নিজেই ভরসা করতে পারছেন না। পারবেনই-বা কী করে, তখনাে যে লিমিটের ধারণা তৈরি হয়নি। আর তখনাে আমরা জানি না অন্তরীকরণের সাথে যােগজীকরণের সম্পর্কটা কী। তাই তিনি একই ফলাফল আবার প্রমাণ করেছেন Method of Exhaustion ব্যবহার করে, যেন প্রমাণে কোনাে খুঁত কেউ না ধরতে পারে।

সে এক অধরা সম্পর্ক বক্ৰত লর ভেতরে আবদ্ধ ক্ষেত্রফল বের করার চেষ্টা গণিতবিদেরা করে আসছেন বহু বহু আগে থেকে। সেই ব্যাপারটাই সহজ হয়ে গেল যখন নিউটন এবং লিবনিজ আবিষ্কার করলেন আধুনিক ক্যালকুলাস। একটু আগেই।

তােমরা দেখেছ প্রাচীনকাল থেকেই মানুষ যােগজীকরণ সম্পর্কে একটু-আধটু জানত। অন্তরীকরণের স্পর্শকের ঢাল বের করার পদ্ধতিটাও নিউটন লিবনিজের আগেই দেখিয়েছিলেন পিয়েরে দ্য ফার্মা। কিন্তু যেটা ব্যাপারটা অজানা ছিল সেটা হলাে এদের দুইয়ের ভেতর সম্পর্ক।

যােগজীকরণ আর অন্তরীকরণ যে একটা আরেকটার উল্টো পদ্ধতি এটাই ছিল বিরাট বড় একটা আবিষ্কার। জ্যামিতিকভাবে ঢাল বের করার পদ্ধতি যে ক্ষেত্রফল বের করার পদ্ধতির উলটো সেটা দেখালেন স্কটিশ গণিতবিদ জেমস গ্রেগরি আর এরপর সাধারণ গাণিতিক প্রমাণ দিলেন ট্রিনিটি কলেজে স্যার আইজ্যাক নিউটনের শিক্ষক আইজ্যাক ব্যারাে।

এই একটা সম্পর্ক দুয়ার খুলে দিল গণিতের এক নতুন শাখার Infinitesimal calculus – নিমিখের কলন! আইজ্যাক নিউটন ও গটফ্রেড লিবনিজ মিলে তৈরি করলেন ক্যালকুলাসের প্রাথমিক সমস্ত নিয়ম আর রীতিনীতি।

কী করে এই গণিতকে লেখা হবে, প্রতীকগুলাে কেমন হবে, की করে একটা ফাংশনকে ডিফারেন্সিয়েট করা যাবে, ইন্টিগ্রেট করা যাবে, দুটো ফাংশন যােগ আকারে থাকলে তার যােগজীকরণ অন্তরীকরণ কেমন হবে, বিয়ােগ, গুণ বা ভাগ আকারে থাকলে কেমন হবে, কী করে চলক প্রতিস্থাপন করে হিসাব করা যাবে- এমন প্রাথমিক যত নিয়ম আমরা শিখি তার বেশির ভাগ নিউটন-লিবনিজের থেকে পাওয়া।

নিউটন-লিবনিজের আগেও ক্যালকুলাস ছিল। কিন্তু জ্যামিতি কিংবা বীজগণিতের মতাে বড় কোনাে শাখা হিসেবে ছিল না। তারাই এটাকে প্রতিষ্ঠিত করেছেন গণিতের অমিত সম্ভাবনাময় একটা শাখা হিসেবে। মূলত এ কারণে তাদের দুজনকে ক্যালকুলাসের আবিষ্কারক বলে। কিন্তু… আমাদের মূল প্রশ্নের উত্তর এখনাে পাওয়া হলাে না! ক্ষেত্রফল থেকে যােগজীকরণের ধারণা কীভাবে এল?

১.২ ক্ষেত্রফল ও যােগজীকরণ গাড়িতে এসাে আমার সাথে- বুঝিয়ে বলি।To be continued………   

তাই আর দেরী না করে নিমিখ পানে ২ pdf download বইটি ডাউনলোড করতে নিচের ডাউনলোড বাটন এ ক্লিক করুন।              

নিমিখ পানে ২ pdf download বইটির হার্ড কফি ক্রয় করুন :-

Adarsha.com.bd | Rokomari.com | Boibazar.com

Tags

ADR Dider

Best bangla pdf download, technologies tips,life style and bool, movie,smartphone reviews site.

3 Comments

  1. আসসালামুআলাইকুম।
    স্যার আমাকে বইটার পিডিএফ লিঙ্ক দয়া করে আমাল ইমেইলে পাঠিয়ে দিলে আমি খুব উপকৃতহবো।

    জিমেইলঃ jihadislam0071@gmail.com

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Close
Close

Ad blocker detected

Plz turn off your ad blocker to continue in this website...